Materi Matematika Kelas 10 - Pengantar Fungsi

Dengan:

A disebut domain (daerah asal) dinotasikan $D_f$
B disebut Kodomain (daerah kawan) dinotasikan $K_f$
${y \epsilon B \mid(x,y) \epsilon R, x \epsilon A}$ disebut range (daerah hasil), dinotasikan dengan $R_f$

Sebagai contoh:

Contoh 1	Contoh 2	Contoh 3

Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang tidak dihubungkan dengan anggota di B	Bukan fungsi karena terdapat anggota di A yang dihubungkan lebih dari satu dengan anggota di B	Merupakan fungsi karena setiap anggota di A tapat dihubungkan dengan satu anggota di B

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi surjektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau $R_f = B$ , atau setiap $y \epsilon B$ terdapat $x \epsilon A$ sedemikian sehingga $f(x) = y$ . Contoh:

Materi Matematika Kelas 10 - Pengantar Fungsi

Fungsi Into

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika terdapat elemen di B yang tidak mempunyai pasangan di A.

Contoh:

Materi Matematika Kelas 10 - Pengantar Fungsi

Fungsi Injektif

Pada fungsi $f:A \rightarrow B$ , jika setiap elemen di B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A.

Contoh:

Materi Matematika Kelas 10 - Pengantar Fungsi

Fungsi Bijektif

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ merupakan fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif.

Contoh:

Materi Matematika Kelas 10 - Pengantar Fungsi

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan susunan dari beberapa fungsi yang terhubung dan bekerja sama.

Sebagai ilustrasi jika fungsi f dan g adalah mesin yang bekerja beriringan. Fungsi f menerima input berupa (x) yang akan diolah di mesin f dan menghasilkan output berupa $f(x)$ . Kemudian $f(x)$ dijadikan input untuk diproses di mesin g sehingga didapat output berupa $g(f(x))$ .

Ilustrasi tersebut jika dibuat dalam fungsi merupakan komposisi g dan f yang dinyatakan dengan $g o f$ sehingga:

$(g o f)(x) = g(f(x))$

dengan syarat: $R_f \cap D_g \not= {\O}$ .

Materi Matematika Kelas 10 - Pengantar Fungsi

Komposisi bisa lebih dari dua fungsi jika $f:A \rightarrow B$ , $g:B \rightarrow C$ , dan $h:C \rightarrow D$ , maka $h o g o f:A \rightarrow D$ dan dinyatakan dengan:

$(h o g o f)(x) = h(g(f(x)))$

Sifat-sifat fungsi komposisi:

Operasi pada fungsi komposisi tidak besifat komutatif $(g o f)(x) \not= (f o g)(x)$

Operasi bersifat asosiatif: $(h o g o f)(x) = (h o(g o f))(x) = ((h o g) o f)(x)$

Contoh:

Jika $f(x) = 2x + 3$ dan $(f o g)(x) = 2x^2 + 6x - 7$ , maka g(x) adalah

$(f)(g(x)) = 2x^2 + 6x - 7$

$2(g(x)) + 3 = 2x^2 + 6x - 7$

$g(x) = x^2 + 3x - 5$

Fungsi Invers

Jika fungsi $f:A \rightarrow B$ memiliki relasi dengan fungsi $g:B \rightarrow A$ , maka fungsi g merupakan invers dari f dan ditulis $f^{-1}$ atau $g = f^{-1}$ . Jika $f^{-1}$ dalam bentuk fungsi, maka $f^{-1}$ disebut fungsi invers.

Materi Matematika Kelas 10 - Pengantar Fungsi

Menentukan Invers

Menentukan invers suatu fungsi $y = f(x)$ dapat ditempuh dengan cara berikut:

Ubah persamaan $y = f(x)$ ke dalam bentuk $x = f(y)$

Gantikan x dengan $f^{-1}(y)$ sehingga $f(y) = f^{-1}(y)$

Gantikan y dengan x sehingga diperoleh invers berupa $f^{-1}$

Contoh:

Menentukan invers dari $=x^2 - 2x + 4$ :

$y = [x^2 - 2x + 4$

$y = (x - 1)^2 + 3$

$(x - 1)^2 = y - 3$

$x - 1 = \pm \sqrt{y - 3}$

$x = \pm \sqrt{y -3 + 3}$

Sehingga inversnya adalah

$f^{-1}(x) =\pm \sqrt{y - 3 + 1}$ dan bukan merupakan fungsi karena memiliki dua nilai.

Rumus Fungsi Invers

JENIS FUNGSI	f(x)	$f^{-1}(x)$
Fungsi linier	$f(x) = ax + b$	$f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}$
Fungsi pecahan linier	$f(x) =\frac{ax+b}{cx+d}$	$f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a}$
Fungsi Irrasional	$f(x) =\sqrt[n]{ax+b}$	$f^{-1}(x) = \frac{x^n-b }{a}$
Fungsi eksponen	$f(x) = a^x$	$f^{-1}(x) = ^a\log x$
Fungsi logaritma	$f(x) = ^a\log x$	$f^{-1}(x) = a^x$

Contoh

JENIS FUNGSI	$f(x)$	$f^{-1}(x)$
Fungsi linier	$f(x) = 2x+3$	$f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$
Fungsi pecahan linier	$f(x) = \frac{2x+3}{4x+5}$	$f^{-1}(x) = \frac{-5x+3}{4x-2}$
Fungsi Irrasional	$f(x) = \sqrt[4]{2x+3}$	$f^{-1}(x) = \frac{x^4-3}{2}$
Fungsi eksponen	$f(x) = 2^x$	$f^{-1}(x) = ^2\log x$
Fungsi logaritma	$f(x) = ^2\log x$	$f^{-1} = 2^x$

Invers dari Fungsi Komposisi

Materi Matematika Kelas 10 - Pengantar Fungsi

Berdasar gambar, jika f, g, h adalah fungsi dengan contoh $f(x) = 2x + 3$ , $g(x) = 3x - 5$ , dan $h(x) = x =1$ .

Jika $f^{-1},g^{-1},h^{-1}$ adalah invers fungsinya yaitu $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$ , $g^{-1}(x) = \frac{x+3}{3}$ , dan $h^{-1}(x) = x - 1$ , maka dirumuskan beserta contohnya:

$(g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1})(x)$
$(g \circ f)^{-1}(x) =f^{-1}(g^{-1}(x))$
$(g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(g^{-1}(x))-3}{2} = \frac{\frac{x+5}{3}-3}{2} = \frac{\frac{x-4}{3}}{2} = \frac{2x-8}{3}$
$(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$
$(f \circ g)^{-1}(x) = g^{-1}(f^{-1}(x))$
$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{\frac{x-3}{2}+5}{3} = \frac{\frac{x+7}{2}}{3} = \frac{3x+21}{2}$
$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = (f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1})(x)$
$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(h^{-1}(x)))$
$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = f^{-1} (\frac{(x-1)+5}{3}) = f^{-1} (\frac{x+4}{3})$
$(h \circ g \circ f)^{-1}(x) = \frac{(\frac{x+4}{3})-3}{2} = \frac{(\frac{x-5}{3})}{2} = \frac{2x-10}{3}$
$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1})(x)$
$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1} (g^{-1}(f^{-1}(x)))$
$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = h^{-1}(\frac{3x+21}{2})$
$(f \circ g \circ h)^{-1}(x) = (\frac{3x+21}{2}) - 1 = \frac{3x+19}{2}$

Berdasarkan rumusan tersebut, dapat diturunkan operasi komposisi fungsi sebagai berikut:

Jika diketahui $g(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f \circ g \circ g^{-1})(x) = (g^{-1} \circ g \circ f)(x) = f(x)$
Jika diketahui $f(x)$ dan $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ , maka $(f^{-1} \circ f \circ g)(x) = (g \circ f \circ f^{-1})(x) = g(x)$
Jika diketahui $f(x)$ , $g(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $(f \circ g)^{-1}((f \circ g \circ h)(x))$
Jika diketahui $f(x)$ , $h(x)$ , dan $(f \circ g \circ h)(x)$ , maka $f^{-1}((f \circ g \circ h)(h^{-1}(x)))$

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi
Jika $f(x) = \frac{x}{x-1}, x \not= 1$ dan $g(x) = f(x^2 +1)$ , tentukanlah nilai $g(f(x))$
Pembahasan
$g(x) = f(x^2+1)$
$g(x) = \frac{(x^2+1)}{(x^2+1)-1} = \frac{x^2+1}{x^2}$
$g(x) = 1+ \frac{1}{x^2}$
Maka:
$g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(f(x))^2}$
$g(f(x)) = 1 + \frac{1}{(\frac{x}{x-1})^2} = 1 + (\frac{x-1}{x})^2 = 1 + \frac{x^2-2x+1}{x^2}$
$g(f(x)) = 2 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}$

Contoh Soal Fungsi Invers

Diketahui $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x - 3)$ , tentukan $f(x)$ .
$f^{-1}(y) = \frac{1}{2}(y -3)$
$x = \frac{1}{2}(y - 3)$
$2x = (y - 3)$
$y = 2x + 3$
Maka,
$f(x) = 2x + 3$

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Misalkan $f(x) = x + 2$ untuk $x > 0$ dan $g(x) = \frac{15}{x}$ untuk $x > 0$ . Jika $(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1$ , tentukan nilai (x) $(x)$ .
Pembahasan
$f(x) = x + 2 \rightarrow f^{-1}(x) = x - 2$
$g(x) = \frac{15}{x} \rightarrow g^{-1}(x) = \frac{15}{x}$

Maka,
$(f^{-1} \circ g^{-1})(x) = 1$
$f^{-1}(g^{-1}(x)) = 1$
$f^{-1}(\frac{15}{x}) = 1$
$(\frac{15}{x}) - 2 = 1$
$x = 5$

Sumber: Studiobelajar.com

Materi Matematika Kelas 10 – Pengantar Fungsi

Sifat-sifat Fungsi

Fungsi Komposisi

Invers dari Fungsi Komposisi

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers dan Pembahasan

Contoh Soal Fungsi Komposisi Fungsi Invers

Tinggalkan komentar Batalkan balasan