Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)
Selanjutnya AC = BD maka AC2 + DB2
{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sin A}2
cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos2 A +
sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A
2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B
2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Rumus cosinus jumlah dua sudut:
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
cos (A – B) = cos (A + (–B))
cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut:
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Contoh soal dan pembahasan penggunaan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.
Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan
cos (A – B).
Penyelesaian:
cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13
sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25
cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 − 288/325
= − 253/325
cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 + 288/325
= 323/325
2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan rumus berikut ini.
sin (A – B) = sin {A + (–B)}
= sin A cos (–B) + cos A sin (–B)
= sin A cos B – cos A sin B
Rumus sinus selisih dua sudut:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
Contoh soal dan pembahasan penggunaan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.
Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan
sin (A – B).
Penyelesaian:
cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
= –36/65 – 20/65
= – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13
= –36/65 + 20/65
= – 16/65
3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus tangen jumlah dua sudut:
Contoh soal dan pembahasan penggunaan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut.
Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.
Penyelesaian:
tan 105° = tan (60 + 45)°
= tan 60° tan 45°
1 tan60 tan45
Berikut adalah contoh soal yang berkaitan dengan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.Latihan 1Diketahui cos α = 3/5 dan sin β = 5/13. Jika α adalah sudut lancip dan β sudut tumpul, tentukan nilai dari sin (α – β) !Jawab :α lancip berarti α berada di kuadran I.β tumpul berarti β berada di kuadran II.
tan A = 1/3 → sin A = 1/√10 dan cos A = 3/√10
tan B = 1/2 → sin B = 1/√5 dan cos B = 2/√5
A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)
cos C = cos (180° – (A + B))
cos C = -cos (A + B)
cos C = -(cos A cos B – sin A sin B)
cos C = -(3/√10 . 2/√5 – 1/√10 . 1/√5)
cos C = -(6/√50 – 1/√50)
cos C = -5/√50
cos C = –12√2
Latihan 3
Segitiga PQR siku-siku di P. Jika cos (P + Q) = 2/3, tentukan nilai dari sin Q + cos R !
Jawab :
Karena sudut P siku-siku, maka P = 90°
cos (P + Q) = 2/3
cos (90° + Q) = 2/3
cos 90° cos Q – sin 90° sin Q = 2/3
0 . cos Q – 1 . sin Q = 2/3
0 – sin Q = 2/3
sin Q = -2/3
P + Q + R = 180°
90° + Q + R = 180°
R = 90° – Q
cos R = cos (90° – Q) = sin Q
diperoleh cos R = sin Q = -2/3
Jadi, sin Q + cos R = -2/3 + (-2/3) = -4/3
Latihan 4
Diketahui A – B = 30° dengan sudut A dan B lancip. Jika sin A cos B = 7/10, tentukan nilai sin (A + B) !
Jawab :
Karena A – B = 30°, maka
sin (A – B) = sin 30° = 1/2
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
1/2 = 7/10 – cos A sin B
cos A sin B = 7/10 – 1/2 = 1/5
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A + B) = 7/10 + 1/5
sin (A + B) = 9/10
Jadi, sin (A + B) = 9/10
Latihan 5
Diketahui α, β dan γ adalah sudut-sudut suatu segitiga. Jika cos γ = -4/√65 dan tan α + tan β = 7/6, tentukan tan α tan β !
Jawab :
γ = 180° – (α + β)
cos γ = cos(180° – (α + β)) = -cos (α + β)
Jadi, cos (α + β) = -cos γ = -(-4/√65) = 4/√65
cos (α + β) = 4/√65 → sin (α + β) = 7/√65
tan (α + β) = sin (α + β) / cos (α + β)
tan (α + β) = (7/√65) / (4/√65)
tan (α + β) = 7/4
tan (α + β) = tanα+tanβ1−tanαtanβ
(1 – tan α tan β) . tan (α + β) = tan α + tan β
(1 – tan α tan β) . 7/4 = 7/6
(1 – tan α tan β) = 2/3
tan α tan β = 1 – 2/3 = 1/3
Jadi, tan α tan β = 1/3
Demikianlah Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut dengan contoh soal dan pembahasannya, semoga bermanfaat untuk anda.
